Некоторые часто используемые интегралы
<math>\int\!\ln {x}\,dx = x \ln {x} - x + C</math>
Будем использовать метод интегрирования по частям:
- <math>u = \ln \,x \Longrightarrow \; du = \frac{dx}{x}</math>
- <math>dv = d\,x \Longrightarrow \; v = x</math>
Тогда:
- <math>\int\ln {x}\,dx =
x\ln x - \int\!{x \frac{1}{x
x\ln x - \int\!\,dx = x\ln x - x + C </math> Доказано. }}
<math>\int\!{dx \over {x^2+a^2}} = {1 \over a}\,\operatorname{arctg}\,\frac{x}{a} + C \quad (a \ne 0)</math>
Вынесем множитель <math>1 / a^2</math> за знак интеграла и в качестве переменной интегрирования будем рассматривать <math>x/a</math>:
- <math>\int\!{dx \over {x^2+a^2
\frac{1}{a^2} \int\!{dx \over { ( \frac{x}{a} )^2 + 1}} = \frac{a}{a^2} \int\!{d{ ( \frac{x}{a} ) } \over { ( \frac{x}{a} )^2 + 1}} = \frac{1}{a} \operatorname{arctg}\,\frac{x}{a} + C</math> Доказано. }}
<math>\int\!{dx \over {x^2-a^2}} = {1 \over 2a}\ln \left|{x-a \over {x+a}}\right| + C \quad (a \ne 0)</math>
Заметим, что <math>1 / (x^2 - a^2)</math> — правильная дробь. Разложим её на простые, используя метод неопределенных коэффициентов:
- <math>\frac{1}{x^2 - a^2} =
\frac{1}{(x-a) (x+a)} = \frac{A_1}{x-a} + \frac{A_2}{x+a}</math>
- <math>\ 1 = A_1 (x+a) + A_2 (x-a)</math>
Найдем значения коэффициентов <math>A_1</math> и <math>A_2</math>,
положив сначала <math>\ x = a </math>:
- <math>\ 1 = 2 a A_1 \Longrightarrow \; A_1 = \frac{1}{2a}</math>
А затем <math>\ x = -a </math>:
- <math>\ 1 = - 2 a A_2 \Longrightarrow \; A_2 = - \frac{1}{2a}</math>
Тогда:
- <math>\frac{1}{x^2 - a^2} =
\frac{1}{2a (x-a)} - \frac{1}{2a (x+a)}</math>
Вернемся к интегралу:
- <math>\int\!{dx \over {x^2-a^2
\int\! \left ( \frac{1}{2a (x-a)} - \frac{1}{2a (x+a)} \right ) \,dx = \frac{1}{2a} \left ( \int\! {dx \over {x-a}} - \int\! {dx \over {x+a}} \right ) = \frac{1}{2a} (\ln {|x-a|} - \ln {|x+a|} ) + C = \frac{1}{2a} \ln {\left | \frac{x-a}{x+a} \right | + C }</math> Доказано. }}
<math>\int\!{dx \over \sqrt{a^2-x^2}} = \arcsin {x \over a} + C \quad (a > 0)</math>
Вынесем множитель <math>1 / a</math> за знак интеграла и в качестве переменной интегрирования будем рассматривать <math>x / a</math>:
- <math>\int\!{dx \over \sqrt{a^2-x^2
\frac{1}{a} \int\!{dx \over \sqrt{1- (\frac{x}{a})^2} } = \frac{a}{a} \int\!{d {(\frac{x}{a})} \over \sqrt{1- (\frac{x}{a})^2} } = \arcsin {x \over a} + C </math> Доказано.}}
<math>\int\!{-dx \over \sqrt{a^2-x^2}} = \arccos {x \over a} + C \quad (a > 0)</math>
Вынесем множитель <math>1 / a</math> за знак интеграла и в качестве переменной интегрирования будем рассматривать <math>x / a</math>:
- <math>\int\!{- dx \over \sqrt{a^2-x^2
\frac{1}{a} \int\!{-dx \over \sqrt{1- (\frac{x}{a})^2} } = \frac{a}{a} \int\!{-d {(\frac{x}{a})} \over \sqrt{1- (\frac{x}{a})^2} } = \arccos {x \over a} + C </math> }}
<math>\int\!{dx \over \sqrt{x^2 \pm a^2}} = \ln \left|{x + \sqrt {x^2 \pm a^2}}\right| + C \quad (a > 0)</math>
Способ 1.
- Рассмотрим сначала интеграл
<math>\int\!{dx \over \sqrt{x^2 + a^2
- Положим <math>\ x = a \ \operatorname{sh} t </math>
- Тогда
- <math>\ dx = {(a \ \operatorname{sh} t)}^\prime =
a \ \operatorname{ch} t \ dt</math>
- <math>\int\!{dx \over \sqrt{x^2 + a^2}} =
\int\! {\frac{a \ \operatorname{ch} t \ dt}{a \ \operatorname{ch} t}} = \int\! dt = t + C</math>
- Осталось найти <math>t</math>
- <math>\ x = a \ \operatorname{sh} t = a \ \frac{e^t - e^{-t}}{2}</math>
- Обозначим <math>\ e^t = y</math>
- <math>\ 2x = a (y - \frac{1}{y}) \Longrightarrow \; 2xy = a (y^2 - 1)</math>
- <math>\ a y^2 - 2xy - a = 0</math>
- <math>y_{1,2} = x \pm \sqrt{x^2 + a^2}</math>
- Т.к. <math>\ e^t > 0</math>, а, очевидно, <math>\ x - \sqrt{x^2 + a^2} < 0</math>, то нам подходит только корень
- <math>\ x + \sqrt{x^2 + a^2}</math>
- Тогда
- <math>t = \ln{| x + \sqrt{x^2 + a^2} |}</math>
- Значит
- <math>\int\!{dx \over \sqrt{x^2+a^2}} = \ln \left|{x + \sqrt {x^2 + a^2}}\right| + C = </math>
- Аналогичным образом можно рассмотреть интеграл
- <math>\int\!{dx \over \sqrt{x^2 - a^2}}</math>
- положив <math>\ x = a \ \operatorname{ch} t </math>
Способ 2.
- Представим исходный интеграл в виде
- <math>\int\!{dx \over \sqrt{x^2 + k}}</math>
- где <math>k = \pm a^2</math>
- Сделаем замену, положив
- <math>t = \sqrt{x^2 + k} + x</math>
- Тогда:
- <math>(t - x)^2 = (\sqrt{x^2 + k})^2</math>
- <math>t^2 - 2tx + x^2 = x^2 + k</math>
- <math>2tx = x^2 - k</math>
- <math>x = \frac{t^2 - k}{2t}</math>
- <math>dx = \left (\frac{t^2 - k}{2t} \right )^\prime dt =
{1 \over 2} \left (\frac{t^2 - k}{t} \right )^\prime dt = {1 \over 2} \frac{2t^2 - (t^2 - k)}{t^2} dt = \frac{t^2 + k}{2t^2} dt</math>
- Таким образом, исходный интеграл принимает вид:
- <math>\int\!{dx \over \sqrt{x^2 + k}} =
\int\!{\frac{t^2 + k}{2t^2} \ dt \over {t - \frac{t^2 - k}{2t} }} = \int\!{ (t^2 + k) \ 2t \ dt \over {(2t^2 - t^2 + k) \ 2t^2} } = \int\! {dt \over t} = \ln | t | \ + \ C = \ln |x + \sqrt{x^2 + k}| \ + \ C = \ln \left|{x + \sqrt {x^2 \pm a^2}}\right| \ + \ C</math> }}
<math>\int \sqrt{a^2-x^2} \;dx = \frac{x}{2} \sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2}\arcsin\frac{x}{a} + C \quad (a > 0)</math>
Способ 1.
- <math>\int \sqrt{a^2-x^2} \;dx =
\int\!{ \frac{(a^2 - x^2) \ dx}{\sqrt{a^2-x^2
\int\! { \frac{a^2 \ dx}{\sqrt{a^2-x^2}} } - \int\! { \frac{x^2 \ dx}{\sqrt{a^2-x^2}} } =
a^2 \arcsin\frac{x}{a} - \int\! { \frac{x^2 \ dx}{\sqrt{a^2-x^2}} } =</math>
- <math>\int\! { \frac{x^2 \ dx}{\sqrt{a^2-x^2}} } =
- {1 \over 2} \int\! { \frac{x \ d(a^2 - x^2)}{\sqrt{a^2-x^2}} } =</math>
- <math>\int\! { \frac{x \ d(a^2 - x^2)}{\sqrt{a^2-x^2}} } =</math>
- <math>u = x \Longrightarrow \; du = dx</math>
- <math>dv = \frac{d(a^2 - x^2)}{\sqrt{a^2-x^2}} \Longrightarrow \; v = 2 \sqrt{a^2-x^2}</math>
- <math>= 2x \sqrt{a^2-x^2} - 2 \int \! { \sqrt{a^2-x^2} \; dx}</math>
- <math>\int\! { \frac{x \ d(a^2 - x^2)}{\sqrt{a^2-x^2}} } =</math>
- <math>= - {1 \over 2} \left ( 2x \sqrt{a^2-x^2} - 2 \int \! { \sqrt{a^2-x^2} } \right ) =
\int \! { \sqrt{a^2-x^2} \; dx } - x \sqrt{a^2-x^2}</math>
- <math>= a^2 \arcsin\frac{x}{a} + x \sqrt{a^2-x^2} - \int \! { \sqrt{a^2-x^2} dx}</math>
- <math>\Downarrow</math>
- <math>\int \!{\sqrt{a^2-x^2} dx} = \frac{x}{2} \sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2}\arcsin\frac{x}{a} + C</math>
Способ 2.
- Положим <math>x = a \sin t</math>
- Тогда:
- <math>dx = a \cos t \ dt</math>
- <math>\sqrt {a^2 - x^2} = \sqrt{a^2 - a^2 \sin^2 t} = \sqrt{a^2(1 - sin^2 t)} = \sqrt{a^2 \cos^2 t} = a \cos t</math>
- <math>t = \arcsin\frac{x}{a}</math>
- И исходный интеграл принимает вид
- <math>\int \!{\sqrt{a^2-x^2} dx} =
\int \! {a \cos t \ a \cos t \ dt} = a^2 \int \! {\cos^2 t \ dt} = a^2 \int \! { \frac{(1 + \cos t) dt}{2} } = </math>
- <math>{a^2 \over 2} \left ( \int\!{ dt } + \int\!{ \cos 2t \ dt } \right ) =
{a^2 \over 2} \left ( t + {1 \over 2} \sin 2t \right ) \ + \ C = </math>
- <math>{a^2 \over 2} \arcsin \frac{x}{a} + {a^2 \over 2} \sin \left (\arcsin \frac{x}{a}\right ) \cos \left (\arcsin \frac{x}{a}\right ) \ + \ C =</math>
- <math>\frac{a^2}{2}\arcsin\frac{x}{a} \ + \ \frac{x}{2} \sqrt{a^2-x^2} \ + \ C</math>
}}
<math>\int \sqrt{x^2 \pm a^2} \;dx = \frac{x}{2}\sqrt{x^2 \pm a^2} \pm \frac{a^2}{2} \ln |x + \sqrt{x^2 \pm a^2} | \ + \ C \quad (a > 0)</math>
Способ 1.
- Аналогично предыдущему примеру
- <math>\int \sqrt{x^2 \pm a^2} \;dx =
\int\! { \frac{x^2 \ dx}{\sqrt{a^2 \pm x^2
- <math>\int\! { \frac{x^2 \ dx}{\sqrt{a^2 \pm x^2}} } =
{1 \over 2} \int\! { \frac{x \ d(x^2 \pm a^2)}{\sqrt{x^2 \pm a^2}} } =</math>
- <math>u = x \Longrightarrow \; du = dx</math>
- <math>dv = \frac{d(x^2 \pm a^2)}{\sqrt{x^2 \pm a^2}} \Longrightarrow \; v = 2 \sqrt{x^2 \pm a^2}</math>
- <math>= x \sqrt{x^2 \pm a^2} - \int \! { \sqrt{x^2 \pm a^2} \; dx}</math>
- Откуда
- <math>\int \sqrt{x^2 \pm a^2} \;dx = \frac{x}{2}\sqrt{x^2 \pm a^2} \pm {1 \over 2} \int\! { \frac{a^2 \ dx}{\sqrt{a^2 \pm x^2}} } =
\frac{x}{2}\sqrt{x^2 \pm a^2} \pm \frac{a^2}{2} \ln |x + \sqrt{x^2 \pm a^2} | \ + \ C</math>
}}
