Некоторые часто используемые интегралы
<math>\int\!\ln {x}\,dx = x \ln {x} - x + C</math>
Будем использовать метод интегрирования по частям:
- <math>u = \ln \,x \Longrightarrow \; du = \frac{dx}{x}</math>
- <math>dv = d\,x \Longrightarrow \; v = x</math>
Тогда:
- <math>\int\ln {x}\,dx =
x\ln x - \int\!{x \frac{1}{x
x\ln x - \int\!\,dx = x\ln x - x</math> Доказано. }}
<math>\int\!{dx \over {x^2+a^2}} = {1 \over a}\,\operatorname{arctg}\,\frac{x}{a} + C</math>
Вынесем множитель <math>\frac{1}{a^2}</math> за знак интеграла и в качестве переменной интегрирования будем рассматривать <math>\frac{x}{a}</math>:
- <math>\int\!{dx \over {x^2+a^2
\frac{1}{a^2} \int\!{dx \over { ( \frac{x}{a} )^2 + 1}} = \frac{a}{a^2} \int\!{d{ ( \frac{x}{a} ) } \over { ( \frac{x}{a} )^2 + 1}} = \frac{1}{a} \operatorname{arctg}\,\frac{x}{a} + C</math> Доказано. }}
<math>\int\!{dx \over {x^2-a^2}} = {1 \over 2a}\ln \left|{x-a \over {x+a}}\right| + C</math>
<math>\int\!{dx \over \sqrt{a^2-x^2}} = \arcsin {x \over a} + C</math>
<math>\int\!{-dx \over \sqrt{a^2-x^2}} = \arccos {x \over a} + C</math>
<math>\int\!{dx \over \sqrt{x^2+a^2}} = \ln \left|{x + \sqrt {x^2 \pm a^2}}\right| + C</math>
<math>\int \sqrt{x^2 \pm a^2} \;dx = \frac{x}{2}\sqrt{x^2 \pm a^2} \pm \frac{a^2}{2} \ln |x + \sqrt{x^2 \pm a^2} | + C</math>
<math>\int \sqrt{a^2-x^2} \;dx = \frac{x}{2} \sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2}\arcsin\frac{x}{a} + C</math>
