Некоторые часто используемые интегралы

<math>\int\!\ln {x}\,dx = x \ln {x} - x + C</math>

Доказательство  

---

<math>\int\!{dx \over {x^2+a^2}} = {1 \over a}\,\operatorname{arctg}\,\frac{x}{a} + C</math>

Доказательство  

<math>\int\!{dx \over {x^2-a^2}} = {1 \over 2a}\ln \left|{x-a \over {x+a}}\right| + C</math>

Доказательство  

---

<math>\int\!{dx \over \sqrt{a^2-x^2}} = \arcsin {x \over a} + C</math>

Доказательство  

<math>\int\!{-dx \over \sqrt{a^2-x^2}} = \arccos {x \over a} + C</math>

Доказательство  

---

<math>\int\!{dx \over \sqrt{x^2+a^2}} = \ln \left|{x + \sqrt {x^2 \pm a^2}}\right| + C</math>

Доказательство  

---

<math>\int \sqrt{x^2 \pm a^2} \;dx = \frac{x}{2}\sqrt{x^2 \pm a^2} \pm \frac{a^2}{2} \ln |x + \sqrt{x^2 \pm a^2} | + C</math>

Доказательство  

<math>\int \sqrt{a^2-x^2} \;dx = \frac{x}{2} \sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2}\arcsin\frac{x}{a} + C</math>

Доказательство