Некоторые часто используемые интегралы

<math>\int\!\ln {x}\,dx = x \ln {x} - x + C</math>

Доказательство  

Будем использовать метод интегрирования по частям:

<math>u = \ln \,x \Longrightarrow \; du = \frac{dx}{x}</math>

<math>dv = d\,x \Longrightarrow \; v = x</math>

Тогда:

<math>\int\ln {x}\,dx =

x\ln x - \int\!{x \frac{1}{x

\,dx =

x\ln x - \int\!\,dx = x\ln x - x + С</math> Доказано. }}

<math>\int\!{dx \over {x^2+a^2}} = {1 \over a}\,\operatorname{arctg}\,\frac{x}{a} + C</math>

Доказательство  

Вынесем множитель <math>\frac{1}{a^2}</math> за знак интеграла и в качестве переменной интегрирования будем рассматривать <math>\frac{x}{a}</math>:

<math>\int\!{dx \over {x^2+a^2

=

\frac{1}{a^2} \int\!{dx \over { ( \frac{x}{a} )^2 + 1}} = \frac{a}{a^2} \int\!{d{ ( \frac{x}{a} ) } \over { ( \frac{x}{a} )^2 + 1}} = \frac{1}{a} \operatorname{arctg}\,\frac{x}{a} + C</math> Доказано. }}

<math>\int\!{dx \over {x^2-a^2}} = {1 \over 2a}\ln \left|{x-a \over {x+a}}\right| + C</math>

Доказательство  

Заметим, что <math>\frac{1}{x^2 - a^2}</math> — правильная дробь. Разложим её на простые (т.е. используем метод неопределенных коэффициентов):

<math>\frac{1}{x^2 - a^2} =

\frac{1}{(x-a) (x+a)} = \frac{A_1}{x-a} + \frac{A_2}{x+a}</math>

<math>\ 1 = A_1 (x+a) + A_2 (x-a)</math>

<math>\ 1 = (A_1 + A_2) x + a (A_1 - A_2)</math>

Выпишем коэффициенты при <math>\ x</math>:

<math>\ 0 = A_1 + A_2 \Longrightarrow \; A_2 = - A_1</math>

<math>\ 1 = a (A_1 - A_2) = a (A_1 + A_1) = 2 a A_1</math>

<math>\Downarrow \;</math>

<math>\ A_1 = \frac{1}{2 a} \quad A_2 = - \frac{1}{2 a}</math>

Тогда:

<math>\frac{1}{x^2 - a^2} =

\frac{1}{2a (x-a)} - \frac{1}{2a (x+a)}</math>

Вернемся к интегралу:

<math>\int\!{dx \over {x^2-a^2

=

\int\! \left ( \frac{1}{2a (x-a)} - \frac{1}{2a (x+a)} \right ) \,dx = \frac{1}{2a} \left ( \int\! {dx \over {x-a}} - \int\! {dx \over {x+a}} \right ) = \frac{1}{2a} (\ln {|x-a|} - \ln {|x+a|} ) = \frac{1}{2a} \ln {\left | \frac{x-a}{x+a} \right |}</math> Доказано. }}

<math>\int\!{dx \over \sqrt{a^2-x^2}} = \arcsin {x \over a} + C</math>

Доказательство  

<math>\int\!{-dx \over \sqrt{a^2-x^2}} = \arccos {x \over a} + C</math>

Доказательство  

<math>\int\!{dx \over \sqrt{x^2+a^2}} = \ln \left|{x + \sqrt {x^2 \pm a^2}}\right| + C</math>

Доказательство  

<math>\int \sqrt{x^2 \pm a^2} \;dx = \frac{x}{2}\sqrt{x^2 \pm a^2} \pm \frac{a^2}{2} \ln |x + \sqrt{x^2 \pm a^2} | + C</math>

Доказательство  

<math>\int \sqrt{a^2-x^2} \;dx = \frac{x}{2} \sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2}\arcsin\frac{x}{a} + C</math>

Доказательство