Некоторые часто используемые интегралы — различия между версиями

Материал из Вики ИТ мехмата ЮФУ
Перейти к: навигация, поиск
Строка 39: Строка 39:
 
|content =  
 
|content =  
 
Заметим, что <math>1 / (x^2 - a^2)</math>  — правильная дробь.  
 
Заметим, что <math>1 / (x^2 - a^2)</math>  — правильная дробь.  
Разложим её на простые (т.е. используем метод ''неопределенных коэффициентов''):
+
Разложим её на простые, используя метод ''неопределенных коэффициентов''):
 
: <math>\frac{1}{x^2 - a^2} =  
 
: <math>\frac{1}{x^2 - a^2} =  
 
\frac{1}{(x-a) (x+a)} =
 
\frac{1}{(x-a) (x+a)} =
Строка 45: Строка 45:
  
 
: <math>\ 1 = A_1 (x+a) + A_2 (x-a)</math>
 
: <math>\ 1 = A_1 (x+a) + A_2 (x-a)</math>
: <math>\ 1 = (A_1 + A_2) x + a (A_1 - A_2)</math>
 
  
Выпишем коэффициенты при <math>\ x</math>:
+
: при <math>\ x = a </math>
: <math>\ 0 = A_1 + A_2 \Longrightarrow \; A_2 = - A_1</math>
+
: <math>\ 1 = A_1 * 2a \Longrightarrow \; A_1 = \frac{1}{2a}</math>
: <math>\ 1 = a (A_1 - A_2) = a (A_1 + A_1) = 2 a A_1</math>
+
: при <math>\ x = -a </math>
:::::::<math>\Downarrow \;</math>
+
: <math>\ 1 = A_2 * ( -2a ) \Longrightarrow \; A_2 = - \frac{1}{2a}</math>
: <math>\ A_1 = \frac{1}{2 a} \quad A_2 = - \frac{1}{2 a}</math>
 
  
 
Тогда:
 
Тогда:

Версия 12:24, 22 марта 2009

<math>\int\!\ln {x}\,dx = x \ln {x} - x + C</math>

\,dx =

x\ln x - \int\!\,dx = x\ln x - x + C </math> Доказано. }}



<math>\int\!{dx \over {x^2+a^2}} = {1 \over a}\,\operatorname{arctg}\,\frac{x}{a} + C</math>

=

\frac{1}{a^2} \int\!{dx \over { ( \frac{x}{a} )^2 + 1}} = \frac{a}{a^2} \int\!{d{ ( \frac{x}{a} ) } \over { ( \frac{x}{a} )^2 + 1}} = \frac{1}{a} \operatorname{arctg}\,\frac{x}{a} + C</math> Доказано. }}



<math>\int\!{dx \over {x^2-a^2}} = {1 \over 2a}\ln \left|{x-a \over {x+a}}\right| + C</math>

=

\int\! \left ( \frac{1}{2a (x-a)} - \frac{1}{2a (x+a)} \right ) \,dx = \frac{1}{2a} \left ( \int\! {dx \over {x-a}} - \int\! {dx \over {x+a}} \right ) = \frac{1}{2a} (\ln {|x-a|} - \ln {|x+a|} ) + C = \frac{1}{2a} \ln {\left | \frac{x-a}{x+a} \right | + C }</math> Доказано. }}



<math>\int\!{dx \over \sqrt{a^2-x^2}} = \arcsin {x \over a} + C</math>

=

\frac{1}{a} \int\!{dx \over \sqrt{1- (\frac{x}{a})^2} } = \frac{a}{a} \int\!{d {(\frac{x}{a})} \over \sqrt{1- (\frac{x}{a})^2} } = \arcsin {x \over a} + C </math> Доказано.}}


<math>\int\!{-dx \over \sqrt{a^2-x^2}} = \arccos {x \over a} + C</math>



<math>\int\!{dx \over \sqrt{x^2+a^2}} = \ln \left|{x + \sqrt {x^2 \pm a^2}}\right| + C</math>



<math>\int \sqrt{x^2 \pm a^2} \;dx = \frac{x}{2}\sqrt{x^2 \pm a^2} \pm \frac{a^2}{2} \ln |x + \sqrt{x^2 \pm a^2} | + C</math>


<math>\int \sqrt{a^2-x^2} \;dx = \frac{x}{2} \sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2}\arcsin\frac{x}{a} + C</math>