Некоторые часто используемые интегралы — различия между версиями

Материал из Вики ИТ мехмата ЮФУ
Перейти к: навигация, поиск
Строка 2: Строка 2:
 
{{Hider
 
{{Hider
 
|title = Доказательство
 
|title = Доказательство
|content = }}
+
|content =  
 +
Будем использовать метод ''интегрирования по частям'':
 +
: <math>u = \ln \,x \Longrightarrow \; du = \frac{dx}{x}</math>
 +
: <math>dv = d\,x \Longrightarrow \; v = x</math>
 +
 
 +
Тогда:
 +
: <math>\int\ln {x}\,dx =
 +
x\ln x - \int\!{x \frac{1}{x}}\,dx =
 +
x\ln x - \int\!\,dx =
 +
x\ln x - x</math>
 +
'''Доказано.'''
 +
}}
  
  
Строка 10: Строка 21:
 
{{Hider
 
{{Hider
 
|title = Доказательство
 
|title = Доказательство
|content = }}
+
|content =  
 +
}}
  
  

Версия 10:40, 22 марта 2009

<math>\int\!\ln {x}\,dx = x \ln {x} - x + C</math>

\,dx =

x\ln x - \int\!\,dx = x\ln x - x</math> Доказано. }}



<math>\int\!{dx \over {x^2+a^2}} = {1 \over a}\,\operatorname{arctg}\,\frac{x}{a} + C</math>


<math>\int\!{dx \over {x^2-a^2}} = {1 \over 2a}\ln \left|{x-a \over {x+a}}\right| + C</math>



<math>\int\!{dx \over \sqrt{a^2-x^2}} = \arcsin {x \over a} + C</math>


<math>\int\!{-dx \over \sqrt{a^2-x^2}} = \arccos {x \over a} + C</math>



<math>\int\!{dx \over \sqrt{x^2+a^2}} = \ln \left|{x + \sqrt {x^2 \pm a^2}}\right| + C</math>



<math>\int \sqrt{x^2 \pm a^2} \;dx = \frac{x}{2}\sqrt{x^2 \pm a^2} \pm \frac{a^2}{2} \ln |x + \sqrt{x^2 \pm a^2} | + C</math>


<math>\int \sqrt{a^2-x^2} \;dx = \frac{x}{2} \sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2}\arcsin\frac{x}{a} + C</math>