Основы программирования — Осенний семестр; Михалкович С.С.; 2008; II — различия между версиями

Версия 13:01, 2 июня 2009

Оператор присваивания :=

Синтаксис

<переменная> := <выражение>

Пример использования оператора присваивания.

a := (3 + 5) * 8; 
b := a + 2;

Семанитика

Вычисляется выражение в правой части, при этом, вместо имен переменных подставляются их значения.
Затем результат вычисления записывается в переменную в левой части.

Ограничение. Тип выражения должен быть совместим по присваиванию с переменной.
Например:

• одинаковые типы совместимы.
• выражение типа integer можно присвоить переменной типа real. Обратное неверно.

Операторы присваивания += и *=

Пример.

d += 1; //прибавить 1 к d
d *= 2; //умножить d на 2

Примеры использования :=

Пример 1. Перемена местами двух значений. Дано: x, y;

var x, y: integer;
begin
  read(x,y);
  var v := x;
  x := y;
  y := v;
  writeln(x, ' ', y);
end.

Это стандартное решение. В PascalABC.NET на основе этого алгоритма определена стандартная процедура Swap(x, y).

Однако, существуют и другие решения. Например:

var x, y: integer;
begin
  read(x, y);
  x := x + y;
  y := x - y;
  x := x - y;
  writeln (x, ' ', y);
end.

Пример 2. Использование промежуточных переменных в вычислениях Дано: x: real; Найти: x¹⁵;

Решение 1.

y := x * x;
z := y * y;
t := z * z;
p := t * z;
q := p * x * y;

Решение 2.

y := x * x;
z := y * x;
t := z * y;
p := t * t * t;

Решение 3.

y := x * x;
x := x * y * y;
t := x * x * x;

Заметим, что в первом решении используется 6 операций умножения, в во 2м и 3м — 5. Возникает задача: найти xⁿ за минимальное число умножений.
Об этом читай тему.

Оператор ввода

Синтаксис

read (<список переменных>) | readln (<список переменных>)

Семантика

Происходит считывание данных с клавиатуры и запись их в переменные из <списка переменных>. Вводить данные нужно либо через пробел, либо по нажатию <Enter>, при этом программа не перейдет к выполнению следующего оператора, пока не будут считаны все данные.

С процедурой ввода связан ряд ошибок (например, если переменная используется в качестве делителя, и вводится 0, или, если должно быть получено целое число, а вводится 'ABC'). Эти ошибки нужно уметь обрабатывать.

Оператор try/except и обработка ошибок ввода

Операторы, которые могут получать ошибку, заключаются специальный охранный блок - оператор try.

Синтаксис

try
  ...
  readln(a);
  ...
except
  <обработка ошибки>
end;
<продолжение работы>

Семантика

Если внутри блока try происходит ошибка выполнения, то все последующие операторы в блоке игнорируются, и выполнение программы переходит к блоку except. По выходе из except программа продолжает работу.

Если ошибки не происходит, то выполняются все операторы в блоке try, блок except не выполняется, и программа продолжает работу.

Оператор вывода

Синтаксис

write(<список выражений>) | writeln(<список выражений>)

Семантика

Выражения в списке вычисляются, и их значения выводятся на экран.
В случае writeln после вывода осуществляется переход на новую строку.

Форматы вывода

После каждого выражения в списке вывода можно использовать формат вывода в виде :a, где a — выражение целого типа.
После вещественного типа — :a:b (a задает ширину поля вывода (выравнивание по правому краю), b — количество знаков в дробной части).

Вывод с помощью write[ln]Format

writelnFormat('<форматная строка>', <список выражений>)

Пример вывода с использованием форматной строки.

writelnFormat('{0} * {1} = {2}', a, b, a * b)

Будет выведено:

a * b = a * b

В форматной строке тоже можно использовать формат вывода.
{0, 10}: 10 — это ширина поля вывода
{0, 10:f3}: 3 — это количество знаков в дробной части для вещественного числа (показывает это спецификатор f).

Условный оператор

Синтаксис

if <условие> then <оператор1>
             else <оператор2>

Семантика

Примеры использования для решения задач

Пример 1. Нахождение минимума
Дано: x, y;
Найти: min;

if x > y then
  min := y
else
  min := x;

Пример 2. Упорядочение a, b по возрастанию.
Ясно, что если a > b, — нужно поменять их местами.
Но тут одним оператором не обойтись. Для этого можно использовать составной оператор — один или больше операторов, заключенных в операторные скобки begin - end;:

if a > b then
begin
  var v := b;
  b := a;
  a := v;
end;

Пример 3. Вычисление функции по взаимоисключающим веткам
<math>y = \begin{cases} x, & x < 2 \\ x^2, & 2 < x < 3 \\ 1-x, & x \ge\; 3 \end{cases}</math>

if x < 2 then
  y := x
else
  if x < 3 then
    y := x * x
  else
    y := 1 - x;

Замечание. Если по ветви else располагается другой оператор if, то говорят, что возникает цепочка вложенных операторов if.

Пример 4. Найти среднее среди a, b, c (a, b, c попарно не равны)
Эта задача имеет несколько вариантов решения.

if a < b then
  if a < c then
    if b < c then
      sr := b
    else
      sr := c
  else
    sr := a
else
  if a > c then
    if b > c then
      sr := b
    else
      sr := c
  else sr := a;

Очевидно, это не самое лучшее решение.
Можно воспользоваться стандартными функциями сравнения.

sr := min(a,b);
if sr < c then
  sr := min(max(a,b), c);

Самостоятельно.

• Даны координаты вершин треугольника и точка M. Принадлежит ли M треугольнику.
• Является ли 4-угольник ABCD корректно заданным.

Арифметические выражения

Основные сведения

Каждое выражение имеет тип. Выражение называется арифметическим, если его тип — числовой.
Выражение строится посредством операций (унарных или бинарных) и операндов.

В арифметических выражениях если a и b — одного типа, то и a op b принадлежит к тому же типу. Исключением является операция "/":

a / b — вещественное.

Если a и b принадлежат к различным типам, то выражение принадлежит к "старшему" типу.
Например:

byte < integer < int64
integer < real

В арифметические выражения могут входить стандартные функции:

exp(x)
ln(x)
abs(x)  // модуль x
sin(x)
cos(x)
sqr(x)  // квадрат x
sqrt(x) // корень из x 
min(x,y) 
max(x,y) 
pow(x,y)// x в степени y

Порядок выполнения операций в арифметических выражениях

• Операции с большим приоритетом выполняются первыми
• Функции вычисляются до операций
• Выражение в скобках вычисляется раньше
• Операции с одинаковым приоритетом выполняются слева направо, если идут подряд.

Операции div и mod для целых

x div y = x / y, округленное до ближайшего целого по направлению к нулю. Это результат от целочисленного деления.
x mod y = x - (x div y) * y. Это остаток от целочисленного деления.

Пример использования
Целочисленные операции часто применяются для определения четности числа:

x mod 2 = 0   <->   x — четное
x mod 2 <> 0   <->   x — нечетное

Логические выражения

Основные сведения

Выражение назывется логическим, если оно имеет тип boolean.
Пример.

x < 0
a >= b
a <> 3

Это простые логические выражения. Однако, с помщью логических операций можно составлять сложные.

 (бинарные)     (унарные)
  a and b         not a
  a or b
  a xor b

Таблицы истинности логических операций

a | b | a and b | a or b | a xor b 

T | T |    T    |   T    |    F
T | F |    F    |   T    |    T
F | T |    F    |   T    |    F
F | F |    F    |   F    |    T

Сокращение вычислений логических выражений

Большинство современных компиляторов, в т.ч. PascalABC.NET производит сокращенное вычисление логических выражений.
Это означает, что в выражении

a and b

если a — ложно, то b не вычисляется, а в

a or b

если a — истинно, b не вычисляется.

Это очень полезно при вычислении таких выражений, как, например,

(y <> 0) and (x / y > 0)

Логически здесь все верно, однако, если бы не использовалось сокращенное вычисление, в случае равенства нулю y'а возникала бы ошибка деления на ноль.

Логические переменные

Можно описывать логические переменные (тип boolean). Им можно присваивать логические выражения.
Эти переменные принимают одно из двух возможных значений:

true (истина)

false (ложь)

Пример использования логических переменных
Дано: прямоугольник со сторонами, параллельными осям координат, задан координатами абсцисс вертикальных сторон (x1, x2) и ординатами горизонтальных (y1, y2); точка M( x, y );
Найти: находится ли точка внутри прямоугольника, снаружи, или лежит на границе;

var inside, outside, bound: boolean;
begin
  inside := (x > x1) and (x < x2) and (y > y1) and (y < y2);
  outside := (x < x1) or (x > x2) or (y < y1) or (y > y2);
  bound := not inside and not outside;
end.

Побитовые операции

Побитовые операции and, or, xor

Замечание. Работают только с целыми.

Смысл такой — каждое целое переводится в двоичную систему счисления и производится побитовое применение этих операций.
Пример.

5 and 10

5₁₀ = 101₂
7₁₀ = 111₂

101
   ( and )
111
———
1012 = 510

Операции shl и shr

Побитовый сдвиг влево и сдвиг вправо соответственно.

shl

x shl n = x * 2n

Сдвигает двоичное представление x на n позиций влево.

shr

x shr n = x div 2n

Сдвигает двоичное представление x на n позиций вправо.

Примеры

x = 510 = 1012

x shl 2 = <—(2)101
             101002 = 2010

x shr 2 = 101—>(2)
          0012 = 110

Таблица приоритетов операций языка Object Pascal

1. унарные + - not
2. имеющие смысл умножения * / div mod and shl shr
3. имеющие смысл сложения + - or xor
4. операции отношения <> <= >= < > in

Оператор case выбора варианта

Синтакстис

case <переключатель> of
  {<список выбора>: <оператор>;}
  [else <оператор>[;]]
end

Семантика

Вначале вычисляется выражение-<переключатель>, после чего его значение ищется в одном из <списков выбора>.
Если значение попадает в какой-то <список выбора>, то выполняется соответствующий ему оператор, иначе, если есть ветвь else, то выполняется оператор по ветке else.

Ограничения

• выражение-переключатель должно иметь так называемый порядковый тип:

целый

символьный

перечислимый

НО НЕ строковый или вещественный.

• значения в <списках выбора> не должны пересекаться.

Примеры использования оператора выбора

Пример 1. День недели

case DayOfWeek of
  1..5: writeln('Будний');
  6, 7: writeln('Выходный');
  else  writeln('Ошибка');
end;

Пример 2. Цифра или буква

var c: char;
read(c);
case c of
  '0'..'9': writeln('Цифра');
  'A'..'Z', 'a'..'z', 'а'..'я', 'А'..'Я', 'ё', 'Ё': writeln('Буква');
end;

Циклы с предусловием (while) и постусловием (repeat)

Синтаксис цикла while

while <условие> do   <— заголовок цикла
  <оператор>   <— тело цикла

<условие>::= <логическое выражение>

Семантика цикла while

Синтаксис цикла repeat

repeat
  <операторы>
until <условие>

Семантика цикла repeat

Зацикливание

Зацикливание происходит, если:

• условие цикла с предусловием всегда истинно

Пример.

while true do
  <оператор>

• условие цикла с постусловием всегда ложно

Пример.

repeat
  <операторы>
until false

Итерация — однократное повторение тела цикла.

Отличия между циклами while и repeat

while

тело может не выполниться ни разу

repeat

тело выполнится хотя бы один раз

Примеры

Пример 1. Сумма нечетных двузначных чисел

С использованием while

s := 0; 
x := 11;
while x < 100 do
begin
  s += x;
  x += 2;
end;

С использованием repeat

s := 0; x := 11;
repeat
  s += x;
  x += 2;
until x = 99;

Пример 2. Факториал

С использованием repeat

var n: integer;
read(n);
var x := n;
var p := 1;

repeat
  p *= x;
  x -= 1;
until x = 1;

С использованием while

var n: integer;
read(n);
var x := n;
var p := 1;

while x > 1 do
begin
  p *= x;
  x -= 1;
end;

Моделирование repeat с помощью while

repeat             Op
  Op       ——>     while not A do
until A;           begin
                     Op
                   end;

Моделирование while с помощью repeat

while A do         if A then
  Op         ——>     repeat
                       Op
                     until not A

Оператор цикла с параметром (for)

Синтаксис

<заголовок цикла>
  <тело цикла>

<заголовок цикла> ::= for <переменная>:=<выражение1> <направление> <выражение2> do
<тело цикла> ::= <оператор> 
<направление> ::= to | downto

Семантика

var b := <выражение1>;
var e := <выражение2>;
  <переменная> := b;
 
while <переменная> <> e do
begin
  <оператор>
  <получить следующее значение переменной>
  <переменная> += 1; | <переменная> -= 1;
end;

<получить следующее значение переменной> ::= <переменная> += 1; | <переменная> -= 1;

<xh4> Ограничения: </xh4>

• выражения 1 и 2 должны быть совместимы по присваиванию с переменной
• переменная должна иметь порядковый тип (такой же, как и в case — целый, символьный или перечислимый)
• переменная цикла for не должна меняться внутри цикла for
• переменная цикла for должна быть описана в той же п/п, где используется цикл

Дополнительные возможности PascalABC.NET

Возможно описание переменной цикла в его заголовке:

for [var] i: integer := 1 to 5 do
  <оператор>

Возможно автоопределение типа при описании:

for var i := 1 to 5 do
  <оператор>

Переменная цикла, описанная в заголовке цикла, определена только внутри цикла.
Замечание. Значение переменной цикла после завершения цикла не определено. Именно поэтому рекомендуется описывать переменную цикла в заголовке цикла.

Примеры использования циклов

Табулирование функции

Дана f(x) на [a; b], разбитая на N частей.
Выдать таблицу значений в точках разбиения.

var a, b: real;
var N: integer;
read(a, b, N);

assert(N <> 0);
assert(b > a);
var h := (b - a) / N;

Дальнейшее решение с помощью for:

for var i := 0 to N do
begin
  writelnFormat('{0,6:f2} {1,9:f4}', x, f(x));
  x += h;
end;

Дальнейшее решение с помощью while:

var eps := h / 2;
while x < (b + eps) do
begin
  writelnFormat('{0,6:f2} {1,9:f4}', x, f(x));
  x += h;
end;

Замечание. Вещественные числа в памяти компьютера представлены приближенно. Ошибка, которая возникает при представлении вещественного числа в памяти, называется ошибкой округления.
Ошибка, которая возникает в результате вычислений с вещественными числами называется вычислительной погрешностью.

Вывод. Вещественные числа нельзя сравнивать на равенство, можно только на больше/меньше.

Рекуррентные соотношения

Говорят, что последовательность данных

x1, x2, x3,..., xn

является рекуррентной, если

xk + 1 = f( xk ), k = 1, 2, 3...

Вывод степеней двойки

var x := 1;
for var i := 1 to 10 do
begin
  writeln(x);
  x *= 2;
end;

Последовательность Фибоначчи

<math>\begin{cases} x_1 = 1, x_2 = 1 \\ x_{k+1} = x_k + x_{k-1}\end{cases}</math>

var a := 1;
var b := 1;
write(a, ' ', b, ' ');
for var i := 3 to 20 do
begin
  c := a + b;
  write(c, ' ');
  a := b;
  b := c;
end;

Вычисление НОД (алгоритм Евклида)

<math>\begin{cases} x_1 = a \\ x_2 = b \\ x_{k+1} = x_{k-1} mod x_k\end{cases}</math>

var a, b: integer;
read(a, b);
assert((a > 0) and (b > 0));
repeat
  c := a mod b;
  a := b;
  b := c;
until c = 0;
writeln(a);

Суммирование рядов (конечных и бесконечных)

• <math>\sum_{i=1}^n \frac{a^i}{i!}</math>

Найдем рекуррентную связь между a_i:

x1 = a
xi = xi-1 * a / i, i = 2, 3..

read(a, n);
x := a;
s := x;
for var i := 2 to n do
begin
  x *= a / i;
  s += x;
end;

• <math>\sum_{i=1}^\infty (-1)^i\frac{a^i}{i}</math>

Для вычисления суммы бесконечного ряда в простейшем случае используют следующий метод:

задается некоторый малый eps и сумма <math>\sum_{i=1}^\infty x_i</math> вычисляется, пока <math>|x_i| >\ eps</math>

assert((a > 0) and (a < 1));
i := 1;
s := 0;
y := -a;
repeat
  s += y / i;
  i += 1;
  y *= -a;
until abs(y / i) < eps;

Нахождение max в последовательности чисел

max := - real.MaxValue; // или max := real.MinValue;
for var i := 1 to n do
begin
  read(x);
  if x > max then
    max := x;
end;

Разложение целого числа на простые множители

Будем делить x на p, начиная с p = 2. Если делится нацело, то p — множитель, если не делится, то увеличиваем p на 1, пока x <> 1.

read(x);
p := 2;
repeat
  if x mod p = 0 then
  begin
    write(p, ' ');
    x := x div p;
  end
  else
    p += 1;
until x = 1;

Операторы break и continue

break — оператор досрочного завершения цикла.

continue — оператор досрочного завершения текущей итерации цикла.

Поиск заданного значения среди введенных

Решение 1. С использованием оператора break

var exists: boolean := false;
for var i:=1 to n do
begin
  read(x);
  if x = k then
  begin
    exists := true;
    break;
  end;
end;

Решение 2.

var i := 1;
var exists: boolean:= false;
repeat
  read(x);
  if x = k then
    exists := true;
  i += 1;
until (i > n) or exists;

Обработка последовательности, завершающейся нулем

Вводятся числа. Конец ввода — ноль.
Найти сумму и произведение положительных чисел.

s := 0;
p := 1;
while True do
begin
  read(x);
  if x = 0 then
    break; 
  if x < 0 then
    continue;  //фильтр
  s += x;
  p *= x;
end;

Пример 10. Вычисление значения многочлена. Схема Горнера

Необходимо вычислить <math>\ a_0x^n + a_1x^{n-1} + ... + a_{n-1}x + a_n</math> если

a₀...a_n известны

x дано

Решение1

var p := 1.0;
var s := 0.0;
for var i:=0 to n do
begin
  read(a);
  s += p * a;
  p *= x;
end;

Это решение использует 2(n + 1) умножений.

Однако есть и другое решение — схема Горнера. Оно основана на том, что
<math>\ a_0x^2 + a_1x + a_2 = ((a_0)x + a_1)x + a_2</math>

Решение2

read(a);
var res: real := a;
for var i:=1 to n do
begin
  read(a);
  res *= x;
  res += a;
end;

Итого — всего n умножений.

Пример 11. Поиск нуля функции на отрезке

Требуется найти корень уравнения f( x ) = 0

• на отрезке [a; b]
• с заданной точностью eps
• f(x) непрерывна на этом отрезке
• имеет на нем ровно 1 корень, т.е. f(a ) * f( b ) < 0

Эта задача решается методом половинного деления.

assert(b > a);
var fa := f(a);
var fb := f(b);
assert(fa * fb < 0);

while b - a > eps do
begib
  var x := (b + a) / 2;
  var fx := f(x);
  if f(x) * f(a) > 0 then
  begin
    a := x;
    fa := fx;
  end
  else
    b := x;
end;

Лекция 8

Вложенные циклы

Метод последовательной детализации

Задача. Вывести все простые числа <= n

writeln(2);
x := 3;
while x <= n do
begin
  Если число x — простое, то
    writeln(x);
  x += 2;
end;

Метод окаймления

Задача. Вывести A^k, A = 2..10

Метод окаймления заключается в том, что что мы окаймляем данный алгоритм внешним циклом, "размораживая" некоторый параметр.

Итак, пусть A — фиксировано( "заморожено" ).

var p := 1.0;
for var i:=1 to k do
  p *= A;
write(p);

Теперь размораживаем A:

for A:=2 to 10 do
begin
  ...
end;

Переборные задачи

Класс задач, в которых требуется перебрать множество вариантов и выбрать несколько оптимальных по каким-то критериям.

Задача

Дано равенство: a² + b² = c², a,b,c — целые

Вывести все такие тройки (a, b, c), что: a<=100, b<=1000, c<=1000;

Решение

for var a:=1 to 1000 do
  for var b:=1 to 1000 do
    for var c:=1 to 1000 do
      if a*a + b*b = c*c then
        writeln(a, b, c);

Однако, ясно, что

a2 + b2 = c2 <=> b2 + a2 = c2

Оптимизация

for var a:=1 to 1000 do
  for var b:=1 to a-1 do
  begin
    var c := round(sqrt(a*a + b*b));
    if a*a + b*b = c*c then
    begin
      writeln(a, b, c);
      writeln(b, a, c);
    end;
  end;

Вывод. При наличии нескольких вложенных циклов нужно оптимизировать самый внутренний.