Некоторые часто используемые интегралы — различия между версиями
Juliet (обсуждение | вклад) |
Juliet (обсуждение | вклад) |
||
| Строка 2: | Строка 2: | ||
{{Hider | {{Hider | ||
|title = Доказательство | |title = Доказательство | ||
| − | |content = }} | + | |content = |
| + | Будем использовать метод ''интегрирования по частям'': | ||
| + | : <math>u = \ln \,x \Longrightarrow \; du = \frac{dx}{x}</math> | ||
| + | : <math>dv = d\,x \Longrightarrow \; v = x</math> | ||
| + | |||
| + | Тогда: | ||
| + | : <math>\int\ln {x}\,dx = | ||
| + | x\ln x - \int\!{x \frac{1}{x}}\,dx = | ||
| + | x\ln x - \int\!\,dx = | ||
| + | x\ln x - x</math> | ||
| + | '''Доказано.''' | ||
| + | }} | ||
| Строка 10: | Строка 21: | ||
{{Hider | {{Hider | ||
|title = Доказательство | |title = Доказательство | ||
| − | |content = }} | + | |content = |
| + | }} | ||
Версия 10:40, 22 марта 2009
<math>\int\!\ln {x}\,dx = x \ln {x} - x + C</math>
Будем использовать метод интегрирования по частям:
- <math>u = \ln \,x \Longrightarrow \; du = \frac{dx}{x}</math>
- <math>dv = d\,x \Longrightarrow \; v = x</math>
Тогда:
- <math>\int\ln {x}\,dx =
x\ln x - \int\!{x \frac{1}{x
x\ln x - \int\!\,dx = x\ln x - x</math> Доказано. }}
<math>\int\!{dx \over {x^2+a^2}} = {1 \over a}\,\operatorname{arctg}\,\frac{x}{a} + C</math>
<math>\int\!{dx \over {x^2-a^2}} = {1 \over 2a}\ln \left|{x-a \over {x+a}}\right| + C</math>
<math>\int\!{dx \over \sqrt{a^2-x^2}} = \arcsin {x \over a} + C</math>
<math>\int\!{-dx \over \sqrt{a^2-x^2}} = \arccos {x \over a} + C</math>
<math>\int\!{dx \over \sqrt{x^2+a^2}} = \ln \left|{x + \sqrt {x^2 \pm a^2}}\right| + C</math>
<math>\int \sqrt{x^2 \pm a^2} \;dx = \frac{x}{2}\sqrt{x^2 \pm a^2} \pm \frac{a^2}{2} \ln |x + \sqrt{x^2 \pm a^2} | + C</math>
<math>\int \sqrt{a^2-x^2} \;dx = \frac{x}{2} \sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2}\arcsin\frac{x}{a} + C</math>
