Просмотр исходного текста страницы Некоторые часто используемые интегралы

<math>\int\!\ln {x}\,dx = x \ln {x} - x + C</math>
{{Hider
|title = Доказательство
|content = 
Будем использовать метод ''интегрирования по частям'':
: <math>u = \ln \,x \Longrightarrow \; du = \frac{dx}{x}</math>
: <math>dv = d\,x \Longrightarrow \; v = x</math>

Тогда:
: <math>\int\ln {x}\,dx = 
x\ln x - \int\!{x \frac{1}{x}}\,dx =
x\ln x - \int\!\,dx = 
x\ln x - x + C </math>
'''Доказано.'''
}}




<math>\int\!{dx \over {x^2+a^2}} = {1 \over a}\,\operatorname{arctg}\,\frac{x}{a} + C \quad (a \ne 0)</math>
{{Hider
|title = Доказательство
|content = 
Вынесем множитель  <math>1 / a^2</math>  за знак интеграла и 
в качестве переменной интегрирования будем рассматривать <math>x/a</math>:
: <math>\int\!{dx \over {x^2+a^2}} =
\frac{1}{a^2} \int\!{dx \over { ( \frac{x}{a} )^2 + 1}} = 
\frac{a}{a^2} \int\!{d{ ( \frac{x}{a} ) } \over { ( \frac{x}{a} )^2 + 1}} =
\frac{1}{a} \operatorname{arctg}\,\frac{x}{a} + C</math>
'''Доказано.'''
}}




<math>\int\!{dx \over {x^2-a^2}} = {1 \over 2a}\ln \left|{x-a \over {x+a}}\right| + C \quad (a \ne 0)</math>
{{Hider
|title = Доказательство
|content = 
Заметим, что <math>1 / (x^2 - a^2)</math>  — правильная дробь. 
Разложим её на простые, используя метод ''неопределенных коэффициентов'':
: <math>\frac{1}{x^2 - a^2} = 
\frac{1}{(x-a) (x+a)} =
\frac{A_1}{x-a} + \frac{A_2}{x+a}</math>

: <math>\ 1 = A_1 (x+a) + A_2 (x-a)</math>

Найдем значения коэффициентов <math>A_1</math> и <math>A_2</math>, 
<br />положив сначала <math>\  x = a </math>:
: <math>\ 1 = 2 a A_1 \Longrightarrow \; A_1 = \frac{1}{2a}</math>
А затем <math>\  x = -a </math>:
: <math>\ 1 = - 2 a A_2 \Longrightarrow \; A_2 = - \frac{1}{2a}</math>

Тогда:
: <math>\frac{1}{x^2 - a^2} = 
\frac{1}{2a (x-a)} - \frac{1}{2a (x+a)}</math>

Вернемся к интегралу:
: <math>\int\!{dx \over {x^2-a^2}} = 
\int\! \left ( \frac{1}{2a (x-a)} - \frac{1}{2a (x+a)} \right )  \,dx =
\frac{1}{2a} \left ( \int\! {dx \over {x-a}} - \int\! {dx \over {x+a}} \right ) =
\frac{1}{2a} (\ln {|x-a|} - \ln {|x+a|} ) + C =
\frac{1}{2a} \ln {\left | \frac{x-a}{x+a} \right | + C }</math>
'''Доказано.'''
}}




<math>\int\!{dx \over \sqrt{a^2-x^2}} = \arcsin {x \over a} + C \quad (a > 0)</math>
{{Hider
|title = Доказательство
|content = 
Вынесем множитель  <math>1 / a</math>  за знак интеграла и 
в качестве переменной интегрирования будем рассматривать <math>x / a</math>:
: <math>\int\!{dx \over \sqrt{a^2-x^2}} =
\frac{1}{a} \int\!{dx \over \sqrt{1- (\frac{x}{a})^2}  } = 
\frac{a}{a} \int\!{d {(\frac{x}{a})} \over \sqrt{1- (\frac{x}{a})^2}  } = 
\arcsin {x \over a} + C
</math>
'''Доказано.'''}}


<math>\int\!{-dx \over \sqrt{a^2-x^2}} = \arccos {x \over a} + C \quad (a > 0)</math>
{{Hider
|title = Доказательство
|content = 
Вынесем множитель  <math>1 / a</math>  за знак интеграла и 
в качестве переменной интегрирования будем рассматривать <math>x / a</math>:
: <math>\int\!{- dx \over \sqrt{a^2-x^2}} =
\frac{1}{a} \int\!{-dx \over \sqrt{1- (\frac{x}{a})^2}  } = 
\frac{a}{a} \int\!{-d {(\frac{x}{a})} \over \sqrt{1- (\frac{x}{a})^2}  } = 
\arccos {x \over a} + C
</math>
}}




<math>\int\!{dx \over \sqrt{x^2 \pm a^2}} = \ln \left|{x + \sqrt {x^2 \pm a^2}}\right| + C \quad (a > 0)</math>
{{Hider
|title = Доказательство
|content = 
''Способ 1.'' <br />
:Рассмотрим сначала интеграл <br /><math>\int\!{dx \over \sqrt{x^2 + a^2}}</math>:
:Положим <math>\ x = a \ \operatorname{sh} t </math> <br />
:Тогда
:: <math>\ dx = {(a \ \operatorname{sh} t)}^\prime = 
a \  \operatorname{ch} t \ dt</math>
: <math>\int\!{dx \over \sqrt{x^2 + a^2}} = 
\int\! {\frac{a \ \operatorname{ch} t \ dt}{a \ \operatorname{ch} t}} = 
\int\! dt = dt + C</math>
:Осталось найти <math>t</math>
:: <math>\ x = a \ \operatorname{sh} t = a \ \frac{e^t - e^{-t}}{2}</math>
::Обозначим <math>\ e^t = y</math>
:: <math>\ 2x = a (y - \frac{1}{y}) \Longrightarrow \; 2xy = a (y^2 - 1)</math>
:: <math>\ a y^2 - 2xy - a = 0</math>
:: <math>y_{1,2} = x \pm  \sqrt{x^2 + a^2}</math>
:Т.к. <math>\ e^t > 0</math>, а, очевидно, <math>\ x - \sqrt{x^2 + a^2} < 0</math>, то нам подходит только корень 
::<math>\ x +  \sqrt{x^2 + a^2}</math>
:Тогда
::<math>t = \ln{| x +  \sqrt{x^2 + a^2} |}</math>
:Значит
::<math>\int\!{dx \over \sqrt{x^2+a^2}} = \ln \left|{x + \sqrt {x^2 + a^2}}\right| + C = </math>
<br />
:Аналогичным образом можно рассмотреть интеграл
::<math>\int\!{dx \over \sqrt{x^2 - a^2}}</math>
:положив <math>\ x = a \ \operatorname{ch} t </math>


''Способ 2.'' <br />
:Представим исходный интеграл в виде
::<math>\int\!{dx \over \sqrt{x^2 + k}}</math>
::где <math>k = \pm a^2</math>
:Сделаем замену, положив
::<math>t = \sqrt{x^2 + k} + x</math>
:Тогда:
::<math>(t - x)^2 = (\sqrt{x^2 + k})^2</math>
::<math>t^2 - 2tx + x^2 = x^2 + k</math>
::<math>2tx = x^2 - k</math>
::<math>x = \frac{t^2 - k}{2t}</math>

::<math>dx = \left (\frac{t^2 - k}{2t} \right )^\prime dt = 
{1 \over 2} \left (\frac{t^2 - k}{t} \right )^\prime dt = 
{1 \over 2} \frac{2t^2 - (t^2 - k)}{t^2} dt = 
\frac{t^2 + k}{2t^2} dt</math>
:Таким образом, исходный интеграл принимает вид:
::<math>\int\!{dx \over \sqrt{x^2 + k}} = 
\int\!{\frac{t^2 + k}{2t^2} \ dt \over {t - \frac{t^2 - k}{2t} }} = 
\int\!{ (t^2 + k) \ 2t \ dt \over {(2t^2 - t^2 + k) \ 2t^2} } = 
\int\! {dt \over t} = 
\ln | t | \ + \ C = 
\ln |x + \sqrt{x^2 + k}| \ + \ C = 
\ln \left|{x + \sqrt {x^2 \pm a^2}}\right| \ + \ C</math>
}}



<math>\int \sqrt{x^2 \pm a^2} \;dx = \frac{x}{2}\sqrt{x^2 \pm a^2} \pm \frac{a^2}{2} \ln |x + \sqrt{x^2 \pm a^2} |  + C \quad (a > 0)</math>
{{Hider
|title = Доказательство
|content = }}


<math>\int \sqrt{a^2-x^2} \;dx = \frac{x}{2} \sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2}\arcsin\frac{x}{a}  + C \quad (a > 0)</math>
{{Hider
|title = Доказательство
|content = }}


== См. также ==
* [[Таблица интегралов]]
* [[Интегралы специального вида и методы их интегрирования]]