Программа аспирантского экзамена МГУ 01.01.06

Ниже приводится программа вступительного экзамена в аспирантуру МГУ по специальности «Математика». Специальная часть соответствует аспирантской специальности 01.01.06 «Математическая логика, алгебра и теория чисел».

Общая часть

• Математический анализ
  1. Непрерывность функций одной и многих переменных, свойства непрерывных, функций. Полный дифференциал и его геометрический смысл. Достаточные условия дифференцируемости. Градиент.
  2. Определенный интеграл. Интегрируемость непрерывной функции.
  3. Понятие метрического пространства, полные метрические пространства, компактность. Теорема Больцано—Вейерштрасса. Принцип сходимости Коши.
  4. Функции с ограниченным изменением. Мера в смысле Лебега. Теорема Д. Ф. Егорова. С-свойства. Абсолютно непрерывные функции.
  5. Суммируемые функции. Интеграл Лебега и его основные свойства. Гильбертовы пространства. Изоморфизм <math>L^2</math> и <math>l^2</math> . Сходимость в среднем.
  6. Интегральные уравнения Фредгольма. Теоремы Фредгольма.
  7. Ортогональные системы функций. Неравенство Бесселя, условие полноты. Ряды Фурье. Сходимость рядов Фурье.
• Линейная алгебра
  1. Линейные пространства, их подпространства. Базис, размерность. Теорема о ранге матрицы. Системы линейных уравнений. Геометрическая интерпретация системы линейных уравнений. Фундаментальная система решений системы однородных линейных уравнений. Теорема Кронекера—Капелли.
  2. Билинейные и квадратичные функции и формы в линейных пространствах, их матрицы. Приведение к нормальному виду. Закон инерции.
  3. Линейные отображения и преобразования линейного пространства, их задания матрицами. Характеристический многочлен. Собственные векторы и собственные значения, связь последних с характеристическими корнями. Приведение матрицы линейного оператора к жордановой форме.
  4. Евклидово пространство. Ортонормированные базисы. Ортогональные матрицы. Ортогональные и самосопряженные преобразования, приведение квадратичной формы к главным осям.
  5. Аффинная и метрическая классификация кривых и поверхностей 2-го порядка. Проективная классификация линий 2-го порядка.
  6. Группы. Подгруппы. Порядок элемента. Циклические группы. Фактор-группа. Теорема о гомоморфизмах.
• Дифференциальные уравнения
  1. Дифференциальное уравнение первого порядка. Теорема о существований и единственности решения.
  2. Линейные уравнения с постоянными коэффициента: однородные и неоднородные.
  3. Линейные уравнения в частных производных второго порядка. Их классификация. Задача Дирихле для уравнения Лапласа. Задача Коши для уравнения струны. Первая краевая задача и задача Коши для уравнения теплопроводности.
• Теория функций комплексного переменного
  1. Функции комплексного переменного. Условия Коши-Римана. Геометрический смысл аргумента и модуля производной.
  2. Элементарные функции комплексного переменного и даваемые ими конформные отображения. Простейшие многозначные функции. Дробно-линейные преобразования.
  3. Теорема Коши об интеграле по замкнутому контуру. Интеграл Коши. Ряд Тейлора. Аналитическое продолжение.
  4. Ряд Лорана. Полюс и существенно особая точка. Вычеты.
  5. Аналитическая функция в целом. Римановы поверхности.
• Дифференциальная геометрия
  1. Неявные функции. Существование, непрерывность и дифференцируемость неявных функций. Криволинейные координаты на многообразии.
  2. Первая квадратичная форма поверхности. Вторая квадратичная форма поверхности. Нормальная кривизна линии на поверхности. Теорема Менье. Геодезическая кривизна. Геодезические линии. Главные направления и главные кривизны. Формула Эйлера. Гауссова кривизна поверхности.
  3. Понятие топологического пространства. Понятие топологического и гладкого многообразия. Основы римановой геометрии и тензорного анализа (аффинная связность, ковариантное дифференцирование, тензор кривизны).
• Вариационное исчисление
  1. Понятие о простейшей проблеме вариационного исчисления. Уравнение Эйлера-Лагранжа. Геодезические линии.
  2. Дифференциальные формы на многообразиях. Общая теорема Стокса. Следствия для векторных полей в трехмерном пространстве. Дивергенция. Вихрь.

Специальная часть

Вопросы по алгебре

1. Классы сопряженных элементов. Центр и коммутант группы, Разрешимые группы. Теоремы Силова.
2. Представления групп. Лемма Шура. Теорема Машке.
3. Характеры представлений. Определяемость представления своим характером.
4. Строение полупростых конечномерных алгебр. Приложения к теории представлений конечных групп.
5. Конечно порожденные модули над кольцом главных идеалов. Приложения к конечным абелевым группам и теории жордановой формы.
6. Задание группы образующими и определяющими соотношениями.
7. Поля алгебраических чисел.
8. Конечные поля.
9. Нётеровы кольца. Теорема Гильберта о базисе.

Дополнительные вопросы по теории чисел

1. Важнейшие арифметические функции. Теория делимости. Сравнения. Сравнения с одной неизвестной. Сравнения второй степени. Квадратичный закон взаимности. Первообразные корни и индексы (И. М. Виноградов, «Основы теории чисел», Наука, 1977).
2. На экзамене поступающему в аспирантуру по специальности «Теория чисел», будут предложены вопросы о его работах по теории чисел, прослушанных специальных курсах и прочитанной им литературе по теории чисел.

Дополнительные вопросы по математической логике

1. Язык логики высказываний. Булевы функции. Исчисление высказываний, его непротиворечивость и полнота.
2. Интуиционистская логика высказываний. Теорема Крипке о полноте.
3. Язык логики первого порядка. Интерпретации, модели. Теорема компактности, теорема Лёвенгейма—Сколема. Исчисление первого порядка, его непротиворечивость. Теорема о полноте. Нестандартные модели арифметики.
4. Теории первого порядка, их полнота, категоричность.
5. Вполне упорядоченные множества. Аксиома выбора. Континуум-гипотеза. Парадоксы наивной теории множеств. Аксиоматическая теория множеств.
6. Общее понятие алгоритма. Вариант формализации понятия алгоритма. Универсальный алгоритм. Вычислимые функции, перечислимые и разрешимые множества. Пример перечислимого неразрешимого множества. Неразрешимые алгоритмические проблемы. Теорема Райса.
7. Примеры разрешимых логических теорий.
8. Теоремы Геделя о неполноте. Неразрешимость формальной арифметики. Теорема Тарского о невыразимости арифметической истинности в арифметике. Теорема Черча о неразрешимости логики предикатов.
9. Конкретные сложности и вычислимости. Теорема об ускорении. Теорема об иерархии. Сложность (энтропия) конечных объектов.

См. также

Экзаменационные программы ИТ