Основы программирования — второй семестр 08-09; Михалкович С.С.; IV часть — различия между версиями

Версия 15:58, 31 марта 2009

Лекция 8

Деревья

Деревом назовем совокупность узлов, называемых вершинами дерева, соединенных между собой ребрами, называемыми ветвями.

Количество уровней называется глубиной дерева.
Каждая вершина нижнего уровня соединяется ровно с одной вершиной предыдущего уровня.

Единственная вершина на уровне 0 называется корнем дерева.
Она не имеет вершин-предков.

Вершины, не имеющие потомков, называют листьями дерева, а совокупность всех листьев образует крону дерева.

Примеры.

• Дерево папок на диске
  
• Самый очевидный пример — генеалогическое древо
  
• Главы и пункты книги
  
• Дерево разбора выражений

a*b + c*d

Теперь дадим рекурсивное определение дерева:

Дерево ::= корень список_поддеревьев
         | ε 
Список поддеревьев ::= список_поддеревьев дерево
                     | ε
// ε означает «пусто»

Дерево называется бинарным (двоичным), если каждая его вершина имеет не более двух потомков.
(Далее бинарные деревья будем сокращать как БД)

Двоичное_дерево  ::= корень левое_поддерево правое_поддерево
                  | ε
Левое_поддерево  ::= двоичное_дерево
Правое_поддерево ::= двоичное_дерево

БД называется идеально сбалансированным, если для каждого узла количество узлов в его правом поддереве отличается от количества узлов в его левом поддереве максимум на единицу. <здесь будут рисунки деревьев>

Полным называют БД, у которого каждая вершина, не являющаяся листом, имеет ровно двух потомков, и все листья находятся на последнем уровне.

Нетрудно заметить, что количество узлов (u) и количество ребер (v) связаны простой формулой: <math>u = v + 1</math>.

Количество узлов в полном БД высчитывается по формуле
<math>\ 2^{n+1} - 1</math>

Порядки обхода деревьев

Требуется составить алгоритм, обходящий все узлы дерева в некотором порядке.
Существует несколько вариантов обходов, каждый из которых описывается рекурсивным алгоритмом.

Рассмотрим эти алгоритмы для обычного и бинарного деревьев:
   

• Инфиксный

Д₁ К Д₂ Д₁ К Д₃ К ... К Д_n

и

БД: Левое_поддерево Корень Правое_поддерево

• Префиксный

К Д₁ Д₂ Д₁ Д₃ ... Д_n

и

БД: Корень Левое_поддерево Правое_поддерево

+ * a b c — префиксная запись выражения

Примечание. Для вычисления выражений, записанных в префиксной записи, применяется рекурсивный алгоритм.

• Постфиксный

Д₁ Д₂ Д₁ Д₃ ... Д_n К

и

БД: Левое_поддерево Правое_поддерево Корень

a b * с + — обратная польская безскобочная запись выражения

Задачи на бинарные деревья

Класс TreeNode<T>

Создание идеально сбалансированного дерева.

Вывод узлов дерева в инфиксном, префиксном, постфиксном порядке.

Связь деревьев и рекурсии.

Определение глубины дерева.

Количество листов в дереве.

Поиск элемента в дереве.

Бинарные деревья поиска

Определение БДП.

Добавление в БДП. Инвариантность БДП относительно операции добавления.

Оценка количества операций при добавлении. Худший случай.

Сортировка деревом. Асимптотическая сложность алгоритма.

Поиск элемента в БДП.

Произвольные деревья

TreeNode = class
  data: integer;
  leftChild, rightSibling: TreeNode;
end;

function CreateRandomTree(n: integer; m: integer): TreeNode;  
// n - количество сыновей, m - количество уровней
begin
  Result := nil;
  if m=0 then exit;
  for var i:=1 to n do
    Result := new TreeNode(Random(100), CreateRandomTree(Random(1,5), m-1), Result)
end;

root := CreateRandomTree(3,4);
root := new TreeNode(Random(100), root, nil);

procedure PrintTree(r: TreeNode);
begin
  while r<>nil do
  begin
    write(r.data,' ');
    PrintTree(r.leftChild);
    r := r.rightSibling;
  end
end;