Основы программирования — второй семестр 08-09; Михалкович С.С.; IV часть

Лекция 8

Деревья

Деревом назовем совокупность узлов, называемых вершинами дерева, соединенных между собой ребрами, называемыми ветвями.
<здесь будет рисунок дерева>
Количество уровней называется глубиной дерева.
Каждая вершина нижнего уровня соединяется ровно с одной вершиной предыдущего уровня.

Единственная вершина на уровне 0 называется корнем дерева.
Она не имеет вершин-предков.

Вершины, не имеющие потомков, называют листьями дерева, а совокупность всех листьев образует крону дерева.

Примеры.

• Дерево папок на диске
  

<здесь будет рисунок>

• Самый очевидный пример — генеалогическое древо
• Главы и пункты книги
  

<здесь будет рисунок>

• Дерево разбора выражений

a*b + c*d

<здесь будет рисунок>

Теперь дадим рекурсивное определение дерева:

Дерево ::= корень список_поддеревьев
         | ε 
Список поддеревьев ::= список_поддеревьев дерево
                     | ε
// ε означает «пусто»

Дерево называется бинарным (двоичным), если каждая его вершина имеет не более двух потомков.
(Далее бинарные деревья будем сокращать как БД)

Двоичное_дерево  ::= корень левое_поддерево правое_поддерево
                  | ε
Левое_поддерево  ::= двоичное_дерево
Правое_поддерево ::= двоичное_дерево

БД называется идеально сбалансированным, если для каждого узла количество узлов в его правом поддереве отличается от количества узлов в его левом поддереве максимум на единицу. <здесь будут рисунки деревьев>

Полным называют БД, у которого каждая вершина, не являющаяся листом, имеет ровно двух потомков, и все листья находятся на последнем уровне.

Нетрудно заметить, что количество узлов (u) и количество ребер (v) связаны простой формулой: <math>u = v + 1</math>.

Количество узлов в полном БД высчитывается по формуле
<math>\ 2^{n+1} - 1</math>

Доказательство  

Действительно:
u₀ = 1 = 2⁰
u₁ = 2 = 2¹
u₂ = 4 = 2²
...
u_n = 2ⁿ
Значит общее количество узлов в дереве глубины n:
u(n) = 2⁰ + 2¹ + 2² + ... + 2ⁿ
Узнаем геометрическую прогрессию с n + 1 членами. А её сумма:
<math>\ S_{n+1} = b_1 \frac{q^{n+1} - 1}{q - 1} = 1 \frac{2^{n+1} - 1}{2 - 1} = 2^{n + 1} - 1</math>

Порядки обхода деревьев

• Инфиксный (левое, корень, правое)
• Префиксный (корень, левое, правое)
• Постфиксный (левое, правое, корень)

Задачи на бинарные деревья

Класс TreeNode<T>

Создание идеально сбалансированного дерева.

Вывод узлов дерева в инфиксном, префиксном, постфиксном порядке.

Связь деревьев и рекурсии.

Определение глубины дерева.

Количество листов в дереве.

Поиск элемента в дереве.

Бинарные деревья поиска

Определение БДП.

Добавление в БДП. Инвариантность БДП относительно операции добавления.

Оценка количества операций при добавлении. Худший случай.

Сортировка деревом. Асимптотическая сложность алгоритма.

Поиск элемента в БДП.

Произвольные деревья

TreeNode = class
  data: integer;
  leftChild, rightSibling: TreeNode;
end;

function CreateRandomTree(n: integer; m: integer): TreeNode;  
// n - количество сыновей, m - количество уровней
begin
  Result := nil;
  if m=0 then exit;
  for var i:=1 to n do
    Result := new TreeNode(Random(100), CreateRandomTree(Random(1,5), m-1), Result)
end;

root := CreateRandomTree(3,4);
root := new TreeNode(Random(100), root, nil);

procedure PrintTree(r: TreeNode);
begin
  while r<>nil do
  begin
    write(r.data,' ');
    PrintTree(r.leftChild);
    r := r.rightSibling;
  end
end;