Таблица интегралов

Основные интегралы

<math>~\int\!0\, dx = C</math>	<math>~\int\!\,dx = x +C</math>
<math>~\int\!x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C,\,n \ne -1</math>	x \right| + C</math>
<math>\int {dx\over x^2}\, = {-1 \over x} + C</math>
<math>~\int\!\sqrt{x}\,dx = {2 \over 3} x\sqrt{x} +C</math>	<math>\int {dx\over \sqrt{x}}\, = 2\sqrt{x} + C</math>
<math>\int\!e^x\,dx = e^x + C</math>	<math>\int\!a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln{a}} + C</math>
<math>\int\!\cos{x}\, dx = \sin{x} + C</math>	<math>\int\!\sin{x}\, dx = -\cos{x} + C</math>
<math>\int\! \csc{x} \, dx = \int\!{dx \over \sin^2 x} = - \operatorname{ctg}\,x + C</math>	<math>\int\! \sec{x} \, dx = \int\!{dx \over \cos^2 x} = \operatorname{tg}\,x + C</math>
<math>\int\!{dx \over {1+x^2}} = \operatorname{arctg}\,x + C</math>
<math>\int\!{dx \over \sqrt{1-x^2}} = \arcsin {x} + C</math>	<math>\int\!{-dx \over \sqrt{1-x^2}} = \arccos {x} + C</math>
<math>\int \operatorname{sh}\,x \, dx = \operatorname{ch}\,x + C</math>	<math>\int \operatorname{ch}\,x \, dx = \operatorname{sh}\,x + C</math>
<math>\int\!{dx \over \operatorname{ch}^2 x} = \operatorname{th}\,x + C</math>	<math>\int\!{dx \over \operatorname{sh}^2 x} = - \operatorname{cth}\,x + C</math>

Другие часто используемые интегралы

<math>\int\!\ln {x}\,dx = x \ln {x} - x + C</math>

Доказательство  

Будем использовать метод интегрирования по частям:

<math>u = \ln \,x \Longrightarrow \; du = \frac{dx}{x}</math>

<math>dv = d\,x \Longrightarrow \; v = x</math>

Тогда:

<math>\int\ln {x}\,dx =

x\ln x - \int\!{x \frac{1}{x

\,dx =

x\ln x - \int\!\,dx = x\ln x - x + C </math> Доказано. }}

<math>\int\!{dx \over {x^2+a^2}} = {1 \over a}\,\operatorname{arctg}\,\frac{x}{a} + C \quad (a \ne 0)</math>

Доказательство  

Вынесем множитель <math>1 / a^2</math> за знак интеграла и в качестве переменной интегрирования будем рассматривать <math>x/a</math>:

<math>\int\!{dx \over {x^2+a^2

=

\frac{1}{a^2} \int\!{dx \over { ( \frac{x}{a} )^2 + 1}} = \frac{a}{a^2} \int\!{d{ ( \frac{x}{a} ) } \over { ( \frac{x}{a} )^2 + 1}} = \frac{1}{a} \operatorname{arctg}\,\frac{x}{a} + C</math> Доказано. }}

<math>\int\!{dx \over {x^2-a^2}} = {1 \over 2a}\ln \left|{x-a \over {x+a}}\right| + C \quad (a \ne 0)</math>

Доказательство  

Заметим, что <math>1 / (x^2 - a^2)</math> — правильная дробь. Разложим её на простые, используя метод неопределенных коэффициентов:

<math>\frac{1}{x^2 - a^2} =

\frac{1}{(x-a) (x+a)} = \frac{A_1}{x-a} + \frac{A_2}{x+a}</math>

<math>\ 1 = A_1 (x+a) + A_2 (x-a)</math>

Найдем значения коэффициентов <math>A_1</math> и <math>A_2</math>,
положив сначала <math>\ x = a </math>:

<math>\ 1 = 2 a A_1 \Longrightarrow \; A_1 = \frac{1}{2a}</math>

А затем <math>\ x = -a </math>:

<math>\ 1 = - 2 a A_2 \Longrightarrow \; A_2 = - \frac{1}{2a}</math>

Тогда:

<math>\frac{1}{x^2 - a^2} =

\frac{1}{2a (x-a)} - \frac{1}{2a (x+a)}</math>

Вернемся к интегралу:

<math>\int\!{dx \over {x^2-a^2

=

\int\! \left ( \frac{1}{2a (x-a)} - \frac{1}{2a (x+a)} \right ) \,dx = \frac{1}{2a} \left ( \int\! {dx \over {x-a}} - \int\! {dx \over {x+a}} \right ) = \frac{1}{2a} (\ln {|x-a|} - \ln {|x+a|} ) + C = \frac{1}{2a} \ln {\left | \frac{x-a}{x+a} \right | + C }</math> Доказано. }}

<math>\int\!{dx \over \sqrt{a^2-x^2}} = \arcsin {x \over a} + C \quad (a > 0)</math>

Доказательство  

Вынесем множитель <math>1 / a</math> за знак интеграла и в качестве переменной интегрирования будем рассматривать <math>x / a</math>:

<math>\int\!{dx \over \sqrt{a^2-x^2

=

\frac{1}{a} \int\!{dx \over \sqrt{1- (\frac{x}{a})^2} } = \frac{a}{a} \int\!{d {(\frac{x}{a})} \over \sqrt{1- (\frac{x}{a})^2} } = \arcsin {x \over a} + C </math> Доказано.}}

<math>\int\!{-dx \over \sqrt{a^2-x^2}} = \arccos {x \over a} + C \quad (a > 0)</math>

Доказательство  

Вынесем множитель <math>1 / a</math> за знак интеграла и в качестве переменной интегрирования будем рассматривать <math>x / a</math>:

<math>\int\!{- dx \over \sqrt{a^2-x^2

=

\frac{1}{a} \int\!{-dx \over \sqrt{1- (\frac{x}{a})^2} } = \frac{a}{a} \int\!{-d {(\frac{x}{a})} \over \sqrt{1- (\frac{x}{a})^2} } = \arccos {x \over a} + C </math> }}

<math>\int\!{dx \over \sqrt{x^2 \pm a^2}} = \ln \left|{x + \sqrt {x^2 \pm a^2}}\right| + C \quad (a > 0)</math>

Доказательство  

Способ 1.

Рассмотрим сначала интеграл
<math>\int\!{dx \over \sqrt{x^2 + a^2

</math>:

Положим <math>\ x = a \ \operatorname{sh} t </math>

Тогда

<math>\ dx = {(a \ \operatorname{sh} t)}^\prime =

a \ \operatorname{ch} t \ dt</math>

<math>\int\!{dx \over \sqrt{x^2 + a^2}} =

\int\! {\frac{a \ \operatorname{ch} t \ dt}{a \ \operatorname{ch} t}} = \int\! dt = t + C</math>

Осталось найти <math>t</math>

<math>\ x = a \ \operatorname{sh} t = a \ \frac{e^t - e^{-t}}{2}</math>

Обозначим <math>\ e^t = y</math>

<math>\ 2x = a (y - \frac{1}{y}) \Longrightarrow \; 2xy = a (y^2 - 1)</math>

<math>\ a y^2 - 2xy - a = 0</math>

<math>y_{1,2} = x \pm \sqrt{x^2 + a^2}</math>

Т.к. <math>\ e^t > 0</math>, а, очевидно, <math>\ x - \sqrt{x^2 + a^2} < 0</math>, то нам подходит только корень

<math>\ x + \sqrt{x^2 + a^2}</math>

Тогда

<math>t = \ln{| x + \sqrt{x^2 + a^2} |}</math>

Значит

<math>\int\!{dx \over \sqrt{x^2+a^2}} = \ln \left|{x + \sqrt {x^2 + a^2}}\right| + C = </math>

Аналогичным образом можно рассмотреть интеграл

<math>\int\!{dx \over \sqrt{x^2 - a^2}}</math>

положив <math>\ x = a \ \operatorname{ch} t </math>

Способ 2.

Представим исходный интеграл в виде

<math>\int\!{dx \over \sqrt{x^2 + k}}</math>

где <math>k = \pm a^2</math>

Сделаем замену, положив

<math>t = \sqrt{x^2 + k} + x</math>

Тогда:

<math>(t - x)^2 = (\sqrt{x^2 + k})^2</math>

<math>t^2 - 2tx + x^2 = x^2 + k</math>

<math>2tx = x^2 - k</math>

<math>x = \frac{t^2 - k}{2t}</math>

<math>dx = \left (\frac{t^2 - k}{2t} \right )^\prime dt =

{1 \over 2} \left (\frac{t^2 - k}{t} \right )^\prime dt = {1 \over 2} \frac{2t^2 - (t^2 - k)}{t^2} dt = \frac{t^2 + k}{2t^2} dt</math>

Таким образом, исходный интеграл принимает вид:

<math>\int\!{dx \over \sqrt{x^2 + k}} =

\int\!{\frac{t^2 + k}{2t^2} \ dt \over {t - \frac{t^2 - k}{2t} }} = \int\!{ (t^2 + k) \ 2t \ dt \over {(2t^2 - t^2 + k) \ 2t^2} } = \int\! {dt \over t} = \ln | t | \ + \ C = \ln |x + \sqrt{x^2 + k}| \ + \ C = \ln \left|{x + \sqrt {x^2 \pm a^2}}\right| \ + \ C</math> }}

<math>\int \sqrt{a^2-x^2} \;dx = \frac{x}{2} \sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2}\arcsin\frac{x}{a} + C \quad (a > 0)</math>

Доказательство  

Способ 1.

<math>\int \sqrt{a^2-x^2} \;dx =

\int\!{ \frac{(a^2 - x^2) \ dx}{\sqrt{a^2-x^2

} =

\int\! { \frac{a^2 \ dx}{\sqrt{a^2-x^2}} } - \int\! { \frac{x^2 \ dx}{\sqrt{a^2-x^2}} } = a^2 \arcsin\frac{x}{a} - \int\! { \frac{x^2 \ dx}{\sqrt{a^2-x^2}} } =</math>

<math>\int\! { \frac{x^2 \ dx}{\sqrt{a^2-x^2}} } =

- {1 \over 2} \int\! { \frac{x \ d(a^2 - x^2)}{\sqrt{a^2-x^2}} } =</math>

<math>\int\! { \frac{x \ d(a^2 - x^2)}{\sqrt{a^2-x^2}} } =</math>

<math>u = x \Longrightarrow \; du = dx</math>

<math>dv = \frac{d(a^2 - x^2)}{\sqrt{a^2-x^2}} \Longrightarrow \; v = 2 \sqrt{a^2-x^2}</math>

<math>= 2x \sqrt{a^2-x^2} - 2 \int \! { \sqrt{a^2-x^2} \; dx}</math>

<math>= - {1 \over 2} \left ( 2x \sqrt{a^2-x^2} - 2 \int \! { \sqrt{a^2-x^2} } \right ) =

\int \! { \sqrt{a^2-x^2} \; dx } - x \sqrt{a^2-x^2}</math>

<math>= a^2 \arcsin\frac{x}{a} + x \sqrt{a^2-x^2} - \int \! { \sqrt{a^2-x^2} dx}</math>

<math>\Downarrow</math>

<math>\int \!{\sqrt{a^2-x^2} dx} = \frac{x}{2} \sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2}\arcsin\frac{x}{a} + C</math>

Способ 2.

Положим <math>x = a \sin t</math>

Тогда:

<math>dx = a \cos t \ dt</math>

<math>\sqrt {a^2 - x^2} = \sqrt{a^2 - a^2 \sin^2 t} = \sqrt{a^2(1 - sin^2 t)} = \sqrt{a^2 \cos^2 t} = a \cos t</math>

<math>t = \arcsin\frac{x}{a}</math>

И исходный интеграл принимает вид

<math>\int \!{\sqrt{a^2-x^2} dx} =

\int \! {a \cos t \ a \cos t \ dt} = a^2 \int \! {\cos^2 t \ dt} = a^2 \int \! { \frac{(1 + \cos t) dt}{2} } = </math>

<math>{a^2 \over 2} \left ( \int\!{ dt } + \int\!{ \cos 2t \ dt } \right ) =

{a^2 \over 2} \left ( t + {1 \over 2} \sin 2t \right ) \ + \ C = </math>

<math>{a^2 \over 2} \arcsin \frac{x}{a} + {a^2 \over 2} \sin \left (\arcsin \frac{x}{a}\right ) \cos \left (\arcsin \frac{x}{a}\right ) \ + \ C =</math>

<math>\frac{a^2}{2}\arcsin\frac{x}{a} \ + \ \frac{x}{2} \sqrt{a^2-x^2} \ + \ C</math>

}}

<math>\int \sqrt{x^2 \pm a^2} \;dx = \frac{x}{2}\sqrt{x^2 \pm a^2} \pm \frac{a^2}{2} \ln |x + \sqrt{x^2 \pm a^2} | \ + \ C \quad (a > 0)</math>

Доказательство  

Способ 1.

Аналогично предыдущему примеру

<math>\int \sqrt{x^2 \pm a^2} \;dx =

\int\! { \frac{x^2 \ dx}{\sqrt{a^2 \pm x^2

} \ \pm \ \int\! { \frac{a^2 \ dx}{\sqrt{a^2 \pm x^2}} }</math>

<math>\int\! { \frac{x^2 \ dx}{\sqrt{a^2 \pm x^2}} } =

{1 \over 2} \int\! { \frac{x \ d(x^2 \pm a^2)}{\sqrt{x^2 \pm a^2}} } =</math>

<math>u = x \Longrightarrow \; du = dx</math>

<math>dv = \frac{d(x^2 \pm a^2)}{\sqrt{x^2 \pm a^2}} \Longrightarrow \; v = 2 \sqrt{x^2 \pm a^2}</math>

<math>= x \sqrt{x^2 \pm a^2} - \int \! { \sqrt{x^2 \pm a^2} \; dx}</math>

Откуда

<math>\int \sqrt{x^2 \pm a^2} \;dx = \frac{x}{2}\sqrt{x^2 \pm a^2} \pm {1 \over 2} \int\! { \frac{a^2 \ dx}{\sqrt{a^2 \pm x^2}} } =

\frac{x}{2}\sqrt{x^2 \pm a^2} \pm \frac{a^2}{2} \ln |x + \sqrt{x^2 \pm a^2} | \ + \ C</math>

}}

См. также

• Таблица интегралов
• Интегралы специального вида и методы их интегрирования

Ссылки

• Список наиболее распространенных интегралов элементарных функций (Википедия)
• Список интегралов (Википедия)
• Расширенная таблица интегралов

• Интегралы специального вида и методы их интегрирования